Непараметрическое оценивание функции интенсивности отказа

Рассмотрим два вида функции интенсивности от­каза. Первый — возрастная (корытообразная) функция интенсивности отказа, вошедшая во всё учебники и учеб­ные пособия по теории надежности (см. рис. 4.1, кри­вая ё), и второй — функция %(t) типа кривой а на том же рисунке. Отметим сразу, что в настоящее время для функции іX(t) в виде кривой Ь удалось получить более точные (изотонные) оценки, чем для функции X (t) в виде кривой а ядерные оценки. Поэтому на практике рекомендуется, имея данные о надежности элемента блока, схемы, сначала получать ядерные оценки функ­ции А,(£}, а затем, если по оцениваемой функции будет заметно ее возрастание, применить для окончательного ее оценивания изотонные оценки. Отметим, что инфор­мация, получаемая из вида функции интенсивности отказа, более наглядно характеризует изменение вероятности безотказной работы F (t) по t и, самое главное, позво­ляет сделать вывод о том, как эксплуатировать данный элемент (блок, схему и т. д.). Более того, в оценках функции X(t) на основании эксплуатационных данных содержится и. оценка полезного эксплуатационного эф­фекта данного элемента в виде коэффициента готовно­сти, коэффициента оперативной готовности, экономиче­ских показателей, показателей средних суммарных (или удельных) затрат.

Будем считать,- что получаемую из эксперименталь­ных данных функцию распределения X*(t) всегда можно сгладить непрерывной кривой X(t). Введем понятие ядра, т. е. функции К(и)^0, равной нулю вне нн-

_L1

тервала 1[—-1, +1], и для которой f K(u)du=l и +1 ■ ■ — і

J K[3]{u)du = C<оо. Пример ядра: К(и) = 1/2; —1^н^

■sg + l; К (и) = 0, если К (и) ф:{—1, +1], С =1/2. Естест­венно, что ядра могут иметь и более сложный вид. Назо­вем ядер ной оценкой функции X (/) — следующую стати­стику: …

N (г/)

где параметр ядра Ъ называют шириной окна, величины fj и Zj берут из основополагающей формы (5.1), a N(z~) определяют из соотношения (5.3). В эксплуатации общее число изделий, о которых имеются данные, N=N(0) может быть очень большим, т. е. математически можно записать iN-^oo. Тогда, как показал Ю. К — Беляев [5], оценка (5.8) несмещенная и состоятельная.

Перейдем к асимптотическим (при N-*-оо) ‘у-довери — тельным интервалам для функции! k{t). Множество зна — л • л

чений Xi(t), г = 1, 2,…, N, обозначаемое как Л(Адг(/)), является асимптотически (при N-*~оо) у-доверительным,

л

если lim P{A(tf) еЛ (А(£))} =*у. В данном случае мно-

N -* оо

Л —

жество Л'(А,(£)) есть интервал :[Ам(^), A,*г(£)]. Здесь ниж­няя асимптотическая доверительная оценка

Aw(0= inf’ X(t)=XN(t) — c%N(t)lbNN(t). (5.9)

Л

Причем %N(t) получаем из (5.8), а верхняя асимптоти­ческая 7-доверительная оценка

л

Kn (0 = supX(£) = (t) 2

Пример. Определим ядерную оценку %N — Пусть форма (Б. ІІ) имеет вид

( о;8 а,2 2,о 2,’8 З’,а ад б, а ід7і е, е а,7 <ioi, s. шд d 1,5 і

d= І 1 г а і, і а і її’ о а. о, і і л L

I О О L 0 .0 .1 Й О — г О,1| о о о j

В качестве ядра возьмем функцию ТС(м) = >/2; —’1<ц<+1- K{u)i= 0 при К(и)^[—її, 1], С=1/2. Результаты расчета функциц. л

X(t) по формуле (й.8) приведены на рис. 5J2.